Autor: Gendzo macher
Kategória: Matematické
Publikovaný: 16.01.2007 / Počet zobrazení: 17214

Vašou úlohou bude nájsť 9-miestne číslo podľa zadaných kritérií. No nemyslite si, že je to jednoduché. Dokážu to iba najväčší íkváči :-). Toto je totiž ťažký matematický hlavolam!

Hľadané číslo je: 381654729, pretože platí:
381654729 / 9 = 42406081
38165472 / 8 = 477068
3816547 / 7 = 545221
381654 / 6 = 63609
38165 / 5 = 7633
3816 / 4 = 954
381 / 3 = 127
38 / 2 = 19
3 / 1 = 3

Pýtate sa ako?
Na nájdenie takéhoto čísla je možné použiť dva nástroje:
1. počítač
2. svoju hlavu

V prípade počítača je potrebné napísať krátky program, ktorý preverí všetky možné kombinácie cifier a nájde správny výsledok. Pri dnešnej rýchlosti počítačov by mal takýto program zbehnúť za pár sekúnd.

Druhým spôsobom je postupné hľadanie čísla krok – za krokom logickým a matematickým uvažovaním. Práve tento spôsob riešenia vám teraz ponúkame.

Krok 0.
Nazvime si číslo, ktoré hľadáme, ako G. Číslice tohto čísla si označíme ako a, b, c, d, e, f, g, h, i. Preto platí, že G = abcdefghi. Pre zjednodušenie si ešte pomenujte jednotlivé "podčísla" takto:
G1 = a
G2 = ab
G3 = abc
G4 = abcd
G5 = abcde
G6 = abcdef
G7 = abcdefg
G8 = abcdefgh
G9 = abcdefghi

Krok 1.
Na začiatok je hneď jasné, že e = 5, pretože G5 má byť deliteľné piatimi a číslo je deliteľné piatimi vtedy, keď sa končí na číslicu 0 alebo 5. Keďže nulu v našom príklade nemáme, ostáva nám číslica 5.

Krok 2.
Nepárne číslo nie je deliteľné žiadnym párnym číslom. Z toho dôvodu b, d, f, h musia byť párne. Ak by tomu tak nebolo, G2 by nemohlo byť deliteľné 2, G4 by nemohlo byť deliteľné 4, atď.
Takže platí:
b = 2, 4, 6, alebo 8
d = 2, 4, 6, alebo 8
f = 2, 4, 6, alebo 8
h = 2, 4, 6, alebo 8

Krok 3.
Pretože v čísle G sú iba 4 párne číslice, ktoré musia byť podľa predchádzajúceho kroku použité na b, d, f, h, číslice a, c, e, g, i sú nepárne. Berúc do úvahy, že e=5 (krok 1), platí:
a = 1, 3, 7, alebo 9
c = 1, 3, 7, alebo 9
g = 1, 3, 7, alebo 9
i = 1, 3, 7, alebo 9

Krok 4.
G6 musí byť deliteľné šiestimi. Číslo je deliteľné šiestimi vtedy, keď je párne (deliteľné dvomi) a zároveň je súčet jeho cifier deliteľný 3.
V kroku 2 sme povedali, že f je párne číslo, takže aj G6, ktoré končí cifrou f je párne číslo.
G6 bude deliteľné 3, ak a+b+c+d+e+f bude deliteľné 3. Pretože však zo zadania vieme, že G3 má byť deliteľné 3, aj a+b+c musí byť deliteľné 3. Takže G6 je deliteľné číslom 3 ak d+e+f je deliteľné číslom 3.
Z kroku 1 vieme, že e = 5. Takže def = 258, 456, 654, alebo 852. Avšak z týchto štyroch čísiel iba 258 a 654 sú deliteľné číslom 3.

Teraz je už jasné, že: def = 258, alebo 654.

Krok 5.
Ako zistíme, že je číslo deliteľné 8? Číslo si rozdelíme na dve časti – oddelením posledných dvoch cifier. Celé číslo je potom deliteľné 8 vtedy, ak sú jeho posledné dve cifry deliteľné 8 a zároveň jeho prvá časť cifier tvorí párne číslo.
Príklad: 234216 je deliteľné 8, pretože 16 je deliteľné 8 a 2342 je párne. 234316 nie je deliteľné 8, 2343 nie je párne číslo.

Keďže G8 = abcdefgh a v kroku 2 sme povedali, že f bude párne číslo, prvá podmienka deliteľnosti 8 je splnená. Druhú dosiahneme tak, že gh bude deliteľné 8, pričom g je nepárne (krok 3) a h je párne číslo (krok 2).
Do úvahy teda prichádzajú možnosti: 16, 32, 72, 96.

Krok 6.
Z kroku 4 vyplýva, že d=2 alebo 6.

Ak d=2, potom f=8 (krok 4) a zároveň h=6 (krok 5). Z kroku 5 potom tiež vyplýva, že g=1, alebo 7.

Ak d=6, potom f=4 (krok 4) a zároveň h=2 (krok 5). Z kroku 5 potom tiež vyplýva, že g=3, alebo 7.

Výsledkom je, že b=4, alebo 8.

Krok 7.
Číslo je deliteľné 3, ak súčet jeho cifier je deliteľný 3. Pretože G3 musí byť deliteľné 3, aplikovaním kroku 6 kde b=4 alebo 8 dostávame nasledovné možnosti:
G3 = 147, 183, 189, 381, 387, 741, 783, 789, 981, 987.

Krok 8.
Číslo je deliteľné 9, ak súčet jeho cifier je deliteľný 9. Pre číslo G9 = G to musí platiť vždy, pretože 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45. G9 tak bude vždy deliteľné 9.

Použitím všetkých predchádzajúcich krokov dostávame nasledovné možnosti čísla G:
147258963
183654729
189654327
189654723
381654729
741258963
789654321
981654327
981654723
987654321

Krok 9.
Teraz musíme ešte zabezpečiť, aby G7 bolo deliteľné 7. Podľa kroku 8 nám však ostalo iba niekoľko málo možností, takže ich všetky jednoducho overíme a tak nájdeme správne riešenie G7=3816547.

Výsledok:
Hľadané číslo G=381654729.