OBSAH
Náhodný HlavolamFacebook
Servisné infošky
196
počet optoklamov
počet optoklamov
Reklama
Penzión Šiška Zuberec sa nachádza na konci obce Zuberec - od nás je do Roháčov nabližšie! Ponúkame vám celoročné ubytovanie v peknom prostredí v blízkosti lesa.
Súboj
Autor: Gendzo macherKategória: Pravdepodobnosť
Publikovaný: 05.04.2009 / Počet zobrazení: 19672
Kde bolo tam bolo, tento príbeh sa odohral ešte v časoch, keď sa vzájomné spory vybavovali ručne - stručne. Teda ani nie tak ručne, ako skôr strelnou zbraňou :-).
Ak máte radi hlavolamy o pravdepodobnosti, vychutnáte si naozaj unikátny kúsok. A súdiac podľa príspevkov do diskusie k tomuto typu hlavolamov, pravdepodobnostné hlavolamy sú práve tie, ktoré čitateľom spôsobujú najväčšie problémy. Tak ukáž, či na to máš!
Na začiatok si povedzme, ako budeme zapisovať jednotlivé skutočnosti:
P = pravdepodobnosť
A = Adam, B = Boris, C = Cyril
P(A trafí) znamená "pravdepodobnosť, že Adam trafí svoj cieľ"
P(A minie) znamená "pravdepodobnosť, že Adam minie svoj cieľ"
P(A, ABC) znamená "pravdepodobnosť, že Adam vyjde so súboja, v ktorom bolo vylosované poradie ABC, ako víťaz"
Nasledovné údaje sú známe zo zadania:
P(A trafí) = 1
P(A minie) = 0
P(B trafí) = 8/10 = 4/5
P(B minie) = 2/10 = 1/5
P(C trafí) = 1/2
P(C minie) = 1/2
Skúsme sa najprv pozrieť na vec trochu zjednodušene. Aké sú šance na prežitie v prípade súbojov po dvojiciach?
Poradie strelcov: AB
Ak bude strieľať A ako prvý, na 100% zasiahne B. To znamená, že:
P(A, AB) = 1
P(B, AB) = 0
Poradie strelcov: AC
Ak bude strieľať A ako prvý, na 100% zasiahne C. To znamená, že:
P(A, AC) = 1
P(C, AC) = 0
Poradie strelcov: BA
Ak bude strieľať B ako prvý, zasiahne A s pravdepodobnosťou 80%. V prípade, ak ho ale nezasiahne, pokračuje v streľbe A, pričom ten trafí B s pravdepodobnosťou 100% (a súboj tak končí). Takže:
P(B, BA) = P(B trafí) + P(B minie) × P(B, AB) = 4/5 + 1/5 × 0 = 4/5
P(A, BA) = P(B minie) × P(A, AB) = 1/5 × 1 = 1/5
Poradie strelcov: BC
Ak bude strieľať B ako prvý, zasiahne C s pravdepodobnosťou 80%. V prípade, ak ho ale nezasiahne, ide strieľať C. Ak ale ani C netrafí, ide znovu strieľať B, pričom sa znovu vraciame na začiatok - obaja aj B aj C sú ešte nažive a ide strieľať B. Uvedené za dá zapísať nasledovnou rovnicou:
P(B, BC) = P(B trafí) + P(B minie) × P(B, CB)
Úpravou a dosadením do tejto rovnice dostávame:
P(B, BC) = P(B trafí) + P(B minie) × P(C minie) × P(B, BC)
1 = P(B trafí) / P(B, BC) + P(B minie) × P(C minie)
1 = (4/5) / P(B, BC) + 1/5 × 1/2
9/10 = (4/5) / P(B, BC)
P(B, BC) = (4/5) / (9/10)
P(B, BC) = (4/5) × (10/9) = 40/45 = 8/9
Logicky je pravdepodobnosť P(C, BC) = 1/9
Analogicky to však môžeme dokázať rovnicou:
P(C,BC) = P(B minie) × P(C trafí) + P(B minie) × P(C minie) × P(C,BC)
P(C,BC) = 1/5 × 1/2 + 1/5 × 1/2 × P(C,BC)
P(C,BC) = 1/9
Poradie strelcov: CA
Ak bude strieľať C ako prvý, zasiahne A s pravdepodobnosťou 1/2. Ako ho ale netrafí, A ho trafí s pravdepodobnosťou 100% (a súboj tak končí).
P(C, CA) = P(C trafí) + P(C minie) × P(C, AC) = 1/2 + 1/2 × 0 = 1/2
P(A, CA) = P(C minie) × P(A, AC) = 1/2 × 1 = 1/2
Poradie strelcov: CB
Ak bude strieľať C ako prvý, zasiahne B s pravdepodobnosťou 1/2. Ako ho ale netrafí, ide strieľať B. Ten ho s pravdepodobnosťou 1/5 netrafí a tak môže znovu pokračovať C, pričom súboj začína od začiatku.
P(C, CB) = P(C trafí) + P(C minie) × P(B minie) × P(C, CB)
P(C, CB) = 1/2 + 1/2 × 1/5 × P(C, CB)
1 = (1/2) / P(C, CB) + 1/10
9/10 = (1/2) / P(C, CB)
P(C, CB) = 10/18 = 5/9
Logicky, P(B, CB) = 4/9
Analogicky P(B, CB) = P(C minie) × P(B, BC) = 1/2 × 8/9 = 8/18 = 4/9
Uvedené čiastkové výsledky zapíšeme do prehľadnej tabuľky (lebo sa nám ešte zídu):
Nuž a teraz poďme riešiť pravdepodobnosť víťazstva v súboji troch súperov.
Poradie strelcov: ABC
Prvý ide strieľať A. Akú stratégiu si zvolí? Na koho prvého bude strieľať? Uvažujme logicky. Strelec A trafí na 100%, preto ak zastrelí B, bude na neho strieľať C, kedy bude mať šancu na prežitie 1/2. Ak by ale hneď zastrelil C, bude na neho strieľať B, pričom vtedy má A iba 1/5 šancu na prežite. Čiže A musí prvou ranou odbachnúť B.
Z toho nám teda vyplýva nasledovné (za predpokladu, že hráči volia vždy pre seba ideálnu stretégiu):
P(A, ABC) = 1/2
P(B, ABC) = 0
P(C, ABC) = 1/2
Poradie strelcov: ACB
Stratégia: A musí zase hneď odbachnúť B a nechať následne, nech na neho strieľa C. Vtedy bude mať šancu na prežitie až 1/2 oproti 1/5, ak by hneď odstrelil C.
P(A, ACB) = 1/2
P(B, ACB) = 0
P(C, ACB) = 1/2
Zatiaľ to bolo ľahké, skúsme teda niečo ťažšie :-).
Poradie strelcov: BAC
Stratégia: B sa musí najprv pokúsiť zastreliť A. Ak sa mu to nepodarí, je s ním amen, pretože v tom momente sa hra otočí do situácie ACB (pozri o pár riadkov hore). Ak sa mu podarí zastreliť A, súboj pokračuje podľa zjednodušenej verzie iba dvoch strelcov CB.
P(B, BAC) = P(B trafí) × P(B, CB) + P(B minie) × P(B, ACB) = 4/5 × 4/9 + 1/5 × 0 = 16/45
P(A, BAC) = P(B minie) × P(A, ACB) = 1/5 × 1/2 = 1/10
P(C, BAC) = P(B trafí) × P(C, CB) + P(B minie) × P(C, ACB) = 4/5 × 5/9 + 1/5 × 1/2 = 20/45 + 1/10 = 245/450 = 49/90
Poradie strelcov: CAB
Stratégia: Na koho prvého má strieľať C? Ak bude strieľať na A a trafí ho, dostávame sa do situácie P(C, BC) = 1/9. Ak bude strieľať na B a trafí ho, dostávame sa do situácie P(C, AC) = 0. Podľa uvedeného sa teda javí, že najlepšie bude strieľať na A. Avšak počkať, počkať. Doteraz sme vôbec nepripustili situáciu, že strelec naschvál strelí do vzduchu. Ak by tak teraz C spravil, dostávame sa do situácie P(C, ABC) = 1/2. Hups, zdá sa, že toto je najvýhodnejšia stratégia pre C!
P(C, CAB) = P(C, ABC) = 1/2
P(A, CAB) = P(A, ABC) = 1/2
P(B, CAB) = P(B, ABC) = 0
Poradie strelcov: BCA
Stratégia: Pre B je najvýhodnejšie pokúsiť sa najprv zbaviť A, pretože ak to neurobí, alebo sa mu to nepodarí, A mu pôjde po krku, pričom A nikdy neminie.
P(B, BCA) = P(B trafí) × P(B, CB) + P(B minie) × P(B, CAB) = 4/5 × 4/9 + 1/5 × 0 = 16/45
P(A, BCA) = P(B minie) × P(A, CAB) = 1/5 × 1/2 = 1/10
P(C, BCA) = P(B trafí) × P(C, CB) + P(B minie) × P(C, CAB) = 4/5 × 5/9 + 1/5 × 1/2 = 20/45 + 1/10 = 245/450 = 49/90
Poradie strelcov: CBA
Stratégia: C ide znovu strieľať ako prvý. Ak sa mu podarí zastreliť B, A ho následne odbachne jedna malina (A triafa na 100%). Ak sa mu podarí zastreliť A, B ho následne trafí s pravdepodobnosťou 4/5. No skúsme pripustiť i možnosť, že C naschvál strelí do vzduchu. Vtedy sa situácia mení na P(C, BAC) = 49/90, čo je pre neho najväčšia pravdepodobnosť prežitia.
P(A, CBA) = P(A, BAC) = 1/10
P(B, CBA) = P(B, BAC) = 16/45
A teraz všetko do tabuľky:
Výsledok:
Cyril (aj napriek tomu, že je najhorší strelec) má najväčšiu šancu na víťazstvo! Jeho pravdepodobnosť na prežitie je 47/90, čo je viac ako 52%.
P = pravdepodobnosť
A = Adam, B = Boris, C = Cyril
P(A trafí) znamená "pravdepodobnosť, že Adam trafí svoj cieľ"
P(A minie) znamená "pravdepodobnosť, že Adam minie svoj cieľ"
P(A, ABC) znamená "pravdepodobnosť, že Adam vyjde so súboja, v ktorom bolo vylosované poradie ABC, ako víťaz"
Nasledovné údaje sú známe zo zadania:
P(A trafí) = 1
P(A minie) = 0
P(B trafí) = 8/10 = 4/5
P(B minie) = 2/10 = 1/5
P(C trafí) = 1/2
P(C minie) = 1/2
Skúsme sa najprv pozrieť na vec trochu zjednodušene. Aké sú šance na prežitie v prípade súbojov po dvojiciach?
Poradie strelcov: AB
Ak bude strieľať A ako prvý, na 100% zasiahne B. To znamená, že:
P(A, AB) = 1
P(B, AB) = 0
Poradie strelcov: AC
Ak bude strieľať A ako prvý, na 100% zasiahne C. To znamená, že:
P(A, AC) = 1
P(C, AC) = 0
Poradie strelcov: BA
Ak bude strieľať B ako prvý, zasiahne A s pravdepodobnosťou 80%. V prípade, ak ho ale nezasiahne, pokračuje v streľbe A, pričom ten trafí B s pravdepodobnosťou 100% (a súboj tak končí). Takže:
P(B, BA) = P(B trafí) + P(B minie) × P(B, AB) = 4/5 + 1/5 × 0 = 4/5
P(A, BA) = P(B minie) × P(A, AB) = 1/5 × 1 = 1/5
Poradie strelcov: BC
Ak bude strieľať B ako prvý, zasiahne C s pravdepodobnosťou 80%. V prípade, ak ho ale nezasiahne, ide strieľať C. Ak ale ani C netrafí, ide znovu strieľať B, pričom sa znovu vraciame na začiatok - obaja aj B aj C sú ešte nažive a ide strieľať B. Uvedené za dá zapísať nasledovnou rovnicou:
P(B, BC) = P(B trafí) + P(B minie) × P(B, CB)
Úpravou a dosadením do tejto rovnice dostávame:
P(B, BC) = P(B trafí) + P(B minie) × P(C minie) × P(B, BC)
1 = P(B trafí) / P(B, BC) + P(B minie) × P(C minie)
1 = (4/5) / P(B, BC) + 1/5 × 1/2
9/10 = (4/5) / P(B, BC)
P(B, BC) = (4/5) / (9/10)
P(B, BC) = (4/5) × (10/9) = 40/45 = 8/9
Logicky je pravdepodobnosť P(C, BC) = 1/9
Analogicky to však môžeme dokázať rovnicou:
P(C,BC) = P(B minie) × P(C trafí) + P(B minie) × P(C minie) × P(C,BC)
P(C,BC) = 1/5 × 1/2 + 1/5 × 1/2 × P(C,BC)
P(C,BC) = 1/9
Poradie strelcov: CA
Ak bude strieľať C ako prvý, zasiahne A s pravdepodobnosťou 1/2. Ako ho ale netrafí, A ho trafí s pravdepodobnosťou 100% (a súboj tak končí).
P(C, CA) = P(C trafí) + P(C minie) × P(C, AC) = 1/2 + 1/2 × 0 = 1/2
P(A, CA) = P(C minie) × P(A, AC) = 1/2 × 1 = 1/2
Poradie strelcov: CB
Ak bude strieľať C ako prvý, zasiahne B s pravdepodobnosťou 1/2. Ako ho ale netrafí, ide strieľať B. Ten ho s pravdepodobnosťou 1/5 netrafí a tak môže znovu pokračovať C, pričom súboj začína od začiatku.
P(C, CB) = P(C trafí) + P(C minie) × P(B minie) × P(C, CB)
P(C, CB) = 1/2 + 1/2 × 1/5 × P(C, CB)
1 = (1/2) / P(C, CB) + 1/10
9/10 = (1/2) / P(C, CB)
P(C, CB) = 10/18 = 5/9
Logicky, P(B, CB) = 4/9
Analogicky P(B, CB) = P(C minie) × P(B, BC) = 1/2 × 8/9 = 8/18 = 4/9
Uvedené čiastkové výsledky zapíšeme do prehľadnej tabuľky (lebo sa nám ešte zídu):
| Udalosť | P(A vyhrá) | P(B vyhrá) | P(C vyhrá) |
|---|---|---|---|
| AB | 1 | 0 | --- |
| AC | 1 | --- | 0 |
| BA | 1/5 | 4/5 | --- |
| BC | --- | 8/9 | 1/9 |
| CA | 1/2 | --- | 1/2 |
| CB | --- | 4/9 | 5/9 |
Nuž a teraz poďme riešiť pravdepodobnosť víťazstva v súboji troch súperov.
Poradie strelcov: ABC
Prvý ide strieľať A. Akú stratégiu si zvolí? Na koho prvého bude strieľať? Uvažujme logicky. Strelec A trafí na 100%, preto ak zastrelí B, bude na neho strieľať C, kedy bude mať šancu na prežitie 1/2. Ak by ale hneď zastrelil C, bude na neho strieľať B, pričom vtedy má A iba 1/5 šancu na prežite. Čiže A musí prvou ranou odbachnúť B.
Z toho nám teda vyplýva nasledovné (za predpokladu, že hráči volia vždy pre seba ideálnu stretégiu):
P(A, ABC) = 1/2
P(B, ABC) = 0
P(C, ABC) = 1/2
Poradie strelcov: ACB
Stratégia: A musí zase hneď odbachnúť B a nechať následne, nech na neho strieľa C. Vtedy bude mať šancu na prežitie až 1/2 oproti 1/5, ak by hneď odstrelil C.
P(A, ACB) = 1/2
P(B, ACB) = 0
P(C, ACB) = 1/2
Zatiaľ to bolo ľahké, skúsme teda niečo ťažšie :-).
Poradie strelcov: BAC
Stratégia: B sa musí najprv pokúsiť zastreliť A. Ak sa mu to nepodarí, je s ním amen, pretože v tom momente sa hra otočí do situácie ACB (pozri o pár riadkov hore). Ak sa mu podarí zastreliť A, súboj pokračuje podľa zjednodušenej verzie iba dvoch strelcov CB.
P(B, BAC) = P(B trafí) × P(B, CB) + P(B minie) × P(B, ACB) = 4/5 × 4/9 + 1/5 × 0 = 16/45
P(A, BAC) = P(B minie) × P(A, ACB) = 1/5 × 1/2 = 1/10
P(C, BAC) = P(B trafí) × P(C, CB) + P(B minie) × P(C, ACB) = 4/5 × 5/9 + 1/5 × 1/2 = 20/45 + 1/10 = 245/450 = 49/90
Poradie strelcov: CAB
Stratégia: Na koho prvého má strieľať C? Ak bude strieľať na A a trafí ho, dostávame sa do situácie P(C, BC) = 1/9. Ak bude strieľať na B a trafí ho, dostávame sa do situácie P(C, AC) = 0. Podľa uvedeného sa teda javí, že najlepšie bude strieľať na A. Avšak počkať, počkať. Doteraz sme vôbec nepripustili situáciu, že strelec naschvál strelí do vzduchu. Ak by tak teraz C spravil, dostávame sa do situácie P(C, ABC) = 1/2. Hups, zdá sa, že toto je najvýhodnejšia stratégia pre C!
P(C, CAB) = P(C, ABC) = 1/2
P(A, CAB) = P(A, ABC) = 1/2
P(B, CAB) = P(B, ABC) = 0
Poradie strelcov: BCA
Stratégia: Pre B je najvýhodnejšie pokúsiť sa najprv zbaviť A, pretože ak to neurobí, alebo sa mu to nepodarí, A mu pôjde po krku, pričom A nikdy neminie.
P(B, BCA) = P(B trafí) × P(B, CB) + P(B minie) × P(B, CAB) = 4/5 × 4/9 + 1/5 × 0 = 16/45
P(A, BCA) = P(B minie) × P(A, CAB) = 1/5 × 1/2 = 1/10
P(C, BCA) = P(B trafí) × P(C, CB) + P(B minie) × P(C, CAB) = 4/5 × 5/9 + 1/5 × 1/2 = 20/45 + 1/10 = 245/450 = 49/90
Poradie strelcov: CBA
Stratégia: C ide znovu strieľať ako prvý. Ak sa mu podarí zastreliť B, A ho následne odbachne jedna malina (A triafa na 100%). Ak sa mu podarí zastreliť A, B ho následne trafí s pravdepodobnosťou 4/5. No skúsme pripustiť i možnosť, že C naschvál strelí do vzduchu. Vtedy sa situácia mení na P(C, BAC) = 49/90, čo je pre neho najväčšia pravdepodobnosť prežitia.
P(A, CBA) = P(A, BAC) = 1/10
P(B, CBA) = P(B, BAC) = 16/45
A teraz všetko do tabuľky:
| Udalosť | P(A vyhrá) | P(B vyhrá) | P(C vyhrá) |
|---|---|---|---|
| ABC | 1/2 | 0 | 1/2 |
| ACB | 1/2 | 0 | 1/2 |
| BAC | 1/10 | 16/45 | 49/90 |
| CAB | 1/2 | 0 | 1/2 |
| BCA | 1/10 | 16/45 | 49/90 |
| CBA | 1/10 | 16/45 | 49/90 |
| Spolu (priemer): | 27/90 | 16/90 | 47/90 |
Výsledok:
Cyril (aj napriek tomu, že je najhorší strelec) má najväčšiu šancu na víťazstvo! Jeho pravdepodobnosť na prežitie je 47/90, čo je viac ako 52%.
- zadanie hlavolamu
34 
25
DISKUSIA
Risi: Zaujimave
fuuha dost tazke treba rozmyslat ja som si myslel ze Adam no ale bol to Cyril. Poplietol sa mi mozog:D
13.04.2009, 09:31
Danes (neregistrovaný): Cyril
bolo jasne ze to vyhra cyril lebo adama by takoj zabili a hned za nim by strielali na brana ale cyrila az posledny krat takze teoreticky vpohode by mal vyhrat
08.05.2009, 19:27
ZAni (neregistrovaný): Otazka
Ak niekto vystreli do vzduchu, lebo to
povazuje za strategicke, je to v sulade so zadanim?
povazuje za strategicke, je to v sulade so zadanim?
26.05.2009, 13:34
Gendzo macher: pre ZAni
Ano, ak niekto vystrelí do vzduchu, pretože to považuje za strategické, je to v súlade so zadaním. V tom prípade netrafí s pravdepodobnosťou 100%, t.j. ak sa raz rozhodne, že strieľa do vzduchu, nemôže tou ranou už nikoho zastreliť.
26.05.2009, 22:16
Adam Krt (neregistrovaný): Tato uloha nemusi mat riesenie
Ak sa vsetci spravuju logicky, tak neberu do uvahy iba uspesnost strelby, ale aj pravdepodobnost vyhry. Teda v prvom kole preratavania zoberu uspesnost strelby, potom pravdepodonost vyhry, potom to musia znova prehodnotit, pretoze ak Cyril ma najvacsiu sancu, tak sa budu spravat inak atd. Teda nekonecny rad, ktory nemusi mat konvergentne riesenie.
11.06.2009, 07:55
Lenka0308 (neregistrovaný): 3
Podla mňa ten ktorý sa vylosuje ako 3. lebo pokiaľ sú od seba vzdialený napr. 5- 15 metrov je jedno ako dobre striela výhra posledný lebo pokiaľ prví zabije druhého tak druhy už nestrieka a môže zabiť prvého.
ale pokiaľ je vzdialenosť väčšia napr 50 m tak to uš to bude podla predloženého riešenia.
ale pokiaľ je vzdialenosť väčšia napr 50 m tak to uš to bude podla predloženého riešenia.
16.09.2009, 19:16
Pavel B (neregistrovaný): Střílení do vzduchu
Za předpokladu, že Adam (jako jediný) nesmí střílet do vzduchu souhlasím s prezentovaným řešením. Tento předpoklad ale v zadání není.
Z čeho by tedy mělo plynout, že pro Adama není někdy výhodnější strategie střelit do vzduchu? (Uvažování Borise a Cyrila je v řešení založeno na předpokladu, že Adam nemine. Jejich strategie by se tedy také mohly změnit, pokud by Adam měl možnost střelby mimo.)
Z čeho by tedy mělo plynout, že pro Adama není někdy výhodnější strategie střelit do vzduchu? (Uvažování Borise a Cyrila je v řešení založeno na předpokladu, že Adam nemine. Jejich strategie by se tedy také mohly změnit, pokud by Adam měl možnost střelby mimo.)
27.07.2010, 17:21
vasko rebusman (neregistrovaný): 100 uspesnost
moje riesenie znie takto:Keby sme si zobrali ze prvy zacne strielat adam ten triafa s presnostou 100 percent a pravdepodobne bude strielat na borisa pretozxe je lepsi strelec ako cirko takze borisa nechame borisom... cirko ma 50p.uspesnost takze bud trafi alebo nie.cyril z jeho pohladu 50 sancu na prezitie a adam pravdepodobnost vyhry 0- 100p.
03.11.2012, 01:18
rokolegojebo (neregistrovaný): moje riesenie
c:50 a:30 b:20 aspon tak mi to vychadza za predpokladu, ze cyril obcas schvalne minie
17.06.2013, 21:06
Vieš o tom, že registrovaní návštevníci nemusia zadávať svoje meno? Registrácia je jednoduchá a je zadarmo. A navyše, nikto sa viac nepodpíše pod tvojím nickom.
Vyhľadávanie
NAJčítanejšie
NAJlepšie
© Gendzo macher, 2014 | www.hlavolamy.sk | admin@hlavolamy.sk